Trigonometría

Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible,como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería,sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.

  Recordemos que un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común.

Por otra parte es importante considerar que la trigonometría solo es aplicable a los triángulos rectángulos

  ¿Para qué sirve la trigonometría?

El problema básico de la trigonometría es algo parecido a esto:

Está cerca de un ancho río y necesita conocer la distancia hasta la otra orilla, digamos hasta el árbol marcado en el dibujo por la letra C (para simplificar, ignoremos la 3ª dimensión). ¿Cómo hacerlo sin cruzar el río?

La forma habitual es como sigue. Clave dos postes en el suelo en los puntos A y B y mida con una cinta la distancia c entre ellos (la "base"). 

    ¿Por qué triángulos? Porque son los bloques básicos de construcción para cualquier figura rectilínea que se pueda construir. El cuadrado, el pentágono u otro polígono puede dividirse en triángulos por medio de líneas rectas radiando desde un ángulo hacia los otros.

Para topografía una tierra los topógrafos la dividen en triángulos y marcan cada ángulo con un "punto de referencia", que hoy en día es, a menudo, una placa de latón redonda fijada en el suelo con un agujero en el centro, sobre el que ponen sus varillas y teodolitos.

Trigonometría plana

  El concepto trigonométrico de ángulo es fundamental en el estudio de la trigonometría. Un ángulo trigonométrico se genera con un radio que gira. Los radios OA y OB (figuras 1a, 1b y 1c) se consideran inicialmente coincidentes con OA. El radio OB gira hasta su posición final. Un ángulo y su magnitud son positivos si se generan con un radio que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo si la rotación es en el sentido de las agujas del reloj. Dos ángulos trigonométricos son iguales si sus rotaciones son de igual magnitud y en la misma dirección.

Una unidad de medida angular se suele definir como la longitud del arco de circunferencia, como s en la figura 2, formado cuando los lados del ángulo central (con vértice en el centro del círculo) cortan a la circunferencia.

Si el arco s (AB) es igual a un cuarto de la circunferencia total C, es decir, s = 3C, de manera que OA es perpendicular a OB, la unidad angular es el ángulo recto. Si s = 1C, de manera que los tres puntos A, O y B están todos en la misma línea recta, la unidad angular es el ángulo llano. Si s = 1/360 C, la unidad angular es un grado. Si s = YC, de manera que la longitud del arco es igual al radio del círculo, la unidad angular es un radián. Comparando el valor de C en las distintas unidades, se tiene que

1 ángulo llano = 2 ángulos rectos = 180 grados = p radianes

Cada grado se subdivide en 60 partes iguales llamadas minutos, y cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos. Si se quiere mayor exactitud, se utiliza la parte decimal de los segundos. Las medidas en radianes menores que la unidad se expresan con decimales. El símbolo de grado es °, el de minuto es ´ y el de segundos es ". Las medidas en radianes se expresan o con la abreviatura rad o sin ningún símbolo. Por tanto, 61° 28´ 42,14" = 1,073 rad = 1,073

Se sobreentiende que el último valor es en radianes.

Un ángulo trigonométrico se designa por convenio con la letra griega theta (q). Si el ángulo q está dado en radianes, entonces se puede usar la fórmula s = rq para calcular la longitud del arco s; si q viene dado en grados, entonces:

s = π.r. θ /180

Funciones trigonométrica

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Llamamos razones trigonométricas a las distintas razones existentes entre los lados de un triángulo rectángulo. Se define:

Seno de un ángulo como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Coseno de un ángulo como la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Tangente de un ángulo como la razón entre el cateto opuesto y el contiguo.
Cosecante de un ángulo como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto, de ahí se deduce que la consecante es 1 entre el seno
Secante de un ángulo como la razón entre la hipotenusa y el cateto contiguo, es 1 entre el coseno.
Cotangente de un ángulo es la razón entre el cateto contiguo y el cateto opuesto, es 1 entre la tangente.

Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.

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